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Abstract:
Für hybride Systeme gibt es noch keine einheitlichen Beschreibungsformen. Ein Ansatz für ihre Modellierung ist die diskrete Näherung. Hierbei ist die Bestimmung von Erreichbarkeitsmengen gewöhnlicher Differenzialgleichungen von Bedeutung. In dieser Arbeit werden die mathematischen Grundlagen zur Erreichbarkeitsanalyse von gewöhnlichen autonomen Differenzialgleichungen zusammengestellt und ein möglicher Ansatz zur Lösung dieser Problematik entwickelt. Dabei sind die sogenannte Zeit-tau-Abbildung, die eine Menge im Zustandsraum eines autonomen Systems nach Verstreichen einer festglegten Zeitdauer abbildet, und die abgebildete Menge selbst Untersuchungsgegenstand.
Um Eigenschaften der Zeit-tau-Abbildung, die im Allgemeinen nicht formelmäßig bekannt ist, zu untersuchen, wird sie mit Hilfe ihrer Taylorreihe linearisiert. Hierfür ist eine Abschätzung des Restgliedes dieser Taylorreihe notwendig. Eine sehr allgemeine Abschätzung der zweiten Ableitung und somit des Restgliedes wird hergeleitet und bewiesen. Die Schärfe dieser Abschätzung wird anhand eines Anwendungsbeispiels, des invertierten Pendels, überprüft.
Ein erster Schritt zur Lösung der Erreichbarkeitsproblematik wird basierend auf der konvexen Optimierung gemacht. Die Formulierung der Erreichbarkeitsanalyse als eine konvexe Optimierungsaufgabe ermöglicht eine zuverlässige und numerisch effiziente Ermittlung der Erreichbarkeitsmengen. Eine notwendige Voraussetzung zur Anwendung der konvexen Optimierung ist die Konvexität der Bildmengen unter der Zeit-tau-Abbildung. Dass diese Voraussetzung tatsächlich unter bestimmten Bedingungen für autonome Systeme erfüllt ist, wird in dieser Arbeit gezeigt und für ein Anwendungsbeispiel evaluiert.
