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Zusammenfassung:
Novel simulation methods for Coulomb and
hydrodynamic interactions
This thesis presents new methods to simulate systems with hydrodynamic and electrostatic
interactions.
Part 1 is devoted to computer simulations of Brownian particles with hydrodynamic
interactions. The main in
uence of the solvent on the dynamics of Brownian
particles is that it mediates hydrodynamic interactions. In the method, this is simulated
by numerical solution of the Navier{Stokes equation on a lattice. To this
end, the Lattice{Boltzmann method is used, namely its D3Q19 version. This model
is capable to simulate compressible
ow. It gives us the advantage to treat dense
systems, in particular away from thermal equilibrium. The Lattice{Boltzmann equation
is coupled to the particles via a friction force. In addition to this force, acting
on point particles, we construct another coupling force, which comes from the pressure
tensor. The coupling is purely local, i. e. the algorithm scales linearly with
the total number of particles. In order to be able to map the physical properties
of the Lattice{Boltzmann
uid onto a Molecular Dynamics (MD)
uid, the case of
an almost incompressible
ow is considered. The Fluctuation{Dissipation theorem
for the hybrid coupling is analyzed, and a geometric interpretation of the friction
coe cient in terms of a Stokes radius is given.
Part 2 is devoted to the simulation of charged particles. We present a novel
method for obtaining Coulomb interactions as the potential of mean force between
charges which are dynamically coupled to a local electromagnetic eld. This algorithm
scales linearly, too. We focus on the Molecular Dynamics version of the
method and show that it is intimately related to the Car{Parrinello approach, while
being equivalent to solving Maxwell's equations with freely adjustable speed of light.
The Lagrangian formulation of the coupled particles{ elds system is derived. The
quasi{Hamiltonian dynamics of the system is studied in great detail. For implementation
on the computer, the equations of motion are discretized with respect
to both space and time. The discretization of the electromagnetic elds on a lattice,
as well as the interpolation of the particle charges on the lattice is given. The
algorithm is as local as possible: Only nearest neighbors sites of the lattice are interacting
with a charged particle. Unphysical self{energies arise as a result of the
lattice interpolation of charges, and are corrected by a subtraction scheme based
on the exact lattice Green's function. The method allows easy parallelization using
standard domain decomposition. Some benchmarking results of the algorithm are
presented and discussed.
Supervisor PD Dr. Burkhard Dunweg
May 17, 2004
Neue Methoden zur Simulation von Systemen mit
elektrostatischer und hydrodynamischer
Wechselwirkung
Die vorliegende Dissertation stellt neue Methoden zur Simulation von Systemen
mit hydrodynamischer und elektrostatischer Wechselwirkung vor. Teil 1 widmet
sich der Computersimulation von Brown'schen Teilchen mit hydrodynamischer
Wechselwirkung. Der wichtigste Ein
u des Losungsmittels auf die Dynamik
der Brown'schen Teilchen besteht darin, da es hydrodynamische Wechselwirkungen
vermittelt. In der vorgestellten Methode wird dies simuliert durch numerische
Losung der Navier{Stokes{Gleichung auf einem Gitter. Hierzu wird die \Lattice
Boltzmann"{Methode benutzt, und zwar in ihrer sogenannten \D3Q19"{Version.
Dieses Modell ist imstande, kompressible Stromungen zu simulieren. Dies hat den
Vorteil, da dichte Systeme studiert werden konnen, insbesondere auch unter Nichtgleichgewichtsbedingungen.
Die \Lattice Boltzmann"{Gleichung wird mit den Teilchen
uber eine Reibungskraft gekoppelt. Zusatzlich zu dieser Kraft, die auf Punktteilchen
wirkt, konstruieren wir eine weitere Kraft, die vom Drucktensor herruhrt.
Diese Kopplung ist streng lokal, d. h. der Algorithmus skaliert linear mit der Gesamtzahl
der Teilchen. Um imstande zu sein, die physikalischen Eigenschaften der
\Lattice Boltzmann"{Flussigkeit auf diejenigen einer Molekulardynamik{Flussigkeit
abzubilden, wird der Fall einer fast inkompressiblen Stromung betrachtet. Die Analyse
des Fluktuations{Dissipations{Theorems fur die Hybridkopplung fuhrt auf eine
geometrische Interpretation des Reibungskoe zienten im Sinne eines Stokes{Radius.
Teil 2 widmet sich der Simulation geladener Teilchen. Wir prasentieren eine neue
Methode, um Coulomb{Wechselwirkungen als das \potential of mean force" zwischen
Ladungen zu erhalten, die dynamisch an ein lokales elektromagnetisches Feld
angekoppelt werden. Dieser Algorithmus skaliert ebenfalls linear. Wir konzentrieren
uns auf die Molekulardynamik{Version der Methode, und zeigen, da ein enger Zusammenhang
zum Car{Parrinello{Verfahren besteht. Au erdem wird gezeigt, da
die Methode auf die Losung der Maxwell{Gleichungen mit frei anpa barer Lichtgeschwindigkeit
hinauslauft. Die Lagrange'sche Formulierung des gekoppelten Systems
Teilchen{Felder wird hergeleitet. Die quasi{Hamilton'sche Dynamik des Systems
wird im Detail studiert. Zur Implementation auf dem Computer werden die
Bewegungsgleichungen sowohl raumlich als auch zeitlich diskretisiert. Die Diskretisierung
der elektromagnetischen Felder auf dem Gitter sowie die Interpolation der
Teilchenladungen auf das Gitter werden angegeben. Der Algorithmus ist so lokal wie
nur moglich: Nur die nachsten Nachbarn des Gitters wechselwirken mit einem geladenen
Teilchen. Die Gitter{Interpolation der Ladungen fuhrt zu unphysikalischen
Selbstenergien; diese werden durch ein Subtraktionsverfahren korrigiert, welches auf
der exakten Gitter{Greensfunktion beruht. Die Methode la t sich mit Standard{
Gebietszerlegung leicht parallelisieren. Einige \Benchmark"{Testergebnisse des Algorithmus
werden vorgestellt und diskutiert.
Betreuer PD Dr. Burkhard Dunweg
17. Mai 2004
